Chào các em học sinh, Toán Olympic Tiểu Học gửi đến các em học sinh giỏi 10 bài toán nâng cao lớp 4, 5 trong đó có kèm lời giải giúp các em ôn luyện để bổ sung kiến thức cho mình.
HUY CHƯƠNG TOÁN OLYMPIC QUỐC TẾ
Xem qua một vài Huy Chương Toán Olympic Quốc Tế của các em học sinh toanolympictieuhoc.com đạt được. Các thành tích, kết quả mà các thầy cô và học trò nỗ lực phấn đấu hiện nay không ngừng gia tăng. Tôn chỉ của các thầy cô giáo là mang lại chất lượng đào tạo cao nhất cho học sinh theo học tại các lớp của Toán Olympic Tiểu Học & Toán Nâng Cao Tiểu Học.
Bài 1: Cho các chữ số : 0, 1, 2, 3, 4. Từ các chữ số đã cho ta có thể:
a) Có bao nhiêu số có 4 chữ số ?
b) Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số mà trong đó chữ số hàng trăm là 2 ?
Bài giải:
Bây giờ ta lần lượt đi giải từng câu:
a) Ta có thể thấy chữ số 0 không thể đứng ở hàng nghìn vì thế ta có 4 cách chọn chữ số hàng nghìn.
Mỗi chữ số hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị đều có 5 cách chọn. Như vậy ta có thể viết được :
4 (hàng nghìn) x 5 (hàng trăm) x 5 (hàng chục) x 5 (hàng đơn vị) = 500 (số) có 4 chữ số viết được từ 5 chữ số đã cho.
Vậy kết quả cuối cùng câu a là: 500 (số)
b) Theo câu b, số cần tìm có chữ số hàng trăm là 2. Vậy ta phải xác định các chữ số hàng nghìn, hàng chục và hàng đơn vị nữa. Như đã biết ở câu a ta có: 4 cách chọn chữ số hàng nghìn, 5 cách chọn chữ số hàng chục. Và yêu cầu của câu b là số chẵn thì ta có 3 cách chọn chữ số hàng đơn vị.
Vậy số các số thỏa mãn tất cả các điều kiện của đề bài là:
4 x 5 x 3 = 60 (số)
Bài 2: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau:
a) 1, 2, 6, 24, …, …, …
b) 1, 2, 2, 4, 8, …, …, …
c) 2, 6, 12, …, …, …
Bài giải:
a) Nhận xét:
Số hạng thứ 2 của dãy số là: 2 = 1 x 2
Số hạng thứ 3 của dãy số là 6 = 2 x 3
Số hạng thứ 4 của dãy số là: 24 = 6 x 4
Vậy quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng đứng liền trước nó nhân với số chỉ thứ tự của số hạng đó.
Áp dụng quy luật này ta có:
Số hạng thứ 5 của dãy số là: 24 x 5 = 120
Số hạng thứ 6 của dãy số là: 120 x 6 = 720
Số hạng thứ 7 của dãy số là: 720 x 7 = 5040
Vậy dãy số đầy đủ là : 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040
b) Tương tự câu a ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tích của hai số hạng đứng liền trước nó.
Vậy dãy số đầy đủ là: 1, 2, 2, 4, 8, 32, 256, 8192
c) Tương tự ta tìm được quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng bằng tích của số chỉ thứ tự số hạng đó với số liền sau của số thứ tự.
Vậy dãy số đầy đủ là: 2, 6, 12, 20, 30, 42
Bài 3: Lúc 7 giờ sáng một người đi xe từ A đến B. Đến 11 giờ trưa người đó dừng lại nghỉ 1 giờ, sau đó lại đi tiếp và về đến B lúc 3 giờ chiều. Do mệt nên vận tốc sau mỗi giờ giảm đi 1 km.
Em hãy tìm vận tốc khi xuất phát biết rằng vận tốc đi trong giờ cuối của quãng đường là 10 km/giờ ?
Bài giải:
Trước tiên ta quy đổi 3 giờ chiều = 15 giờ.
Như vậy thời gian người đó đi trên quãng đường AB là: 15 – 7 – 1 = 7 (giờ)
Ta biết: vận tốc của người đó đi trong giờ thứ 7 là 10 km/giờ = 10 + 1 x 0
Vận tốc của người đó đi trong giờ thứ 6 là: 11 km/giờ = 10 + 1 x 1
Từ đó suy ra vận tốc của người đó đi trong giờ đầu là: 10 + 1 x 6 = 16 (km/giờ)
Bài 4: Một người viết liên tiếp các số tự nhiên từ 1 đến 2007. Hỏi người đó đã viết bao nhiêu lượt chữ số ?
Bài giải:
Ta nhóm lần lượt các dãy số người đó viết như sau:
- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 là nhóm 1
- 10 11 12 … 99 là nhóm 2
- 100 101 102 … 999 là nhóm 3
- 1000 1001 1002 … 2007 là nhóm 4
Số lượt chữ số trong nhóm 1 là: (9-1) + 1 = 9 (lượt)
Số lượt chữ số trong nhóm 2 là: ((99 – 10) + 1) x 2 = 180 (lượt)
Số lượt chữ số trong nhóm 3 là: ((999 – 100) + 1) x 3 = 2700 (lượt)
Số lượt chữ số trong nhóm 4 là: ((2007 – 1000) + 1) x 4 = 4032 (lượt)
Vậy số lượt chữ số người đó đã viết là: 9 + 180 + 2700 + 4032 = 6921 (lượt)
Bài 5: Khi nhân một số tự nhiên với 6789, bạn học sinh đã đặt tất cả các tích riêng thẳng cột với nhau như trong phép cộng nên được kết quả là 296280. Hỏi tích đúng của phép nhân đó là bao nhiêu ?
Bài giải:
Khi đặt các tích riêng thẳng cột với nhau như trong phép cộng tức là bạn học sinh đã lấy thừa số thứ nhất lần lượt nhân với 9, 8, 7, và 6 rồi cộng các kết quả lại.
Do 9 + 8 + 7 + 6 = 30 nên tích sai lúc này bằng 30 lần thừa số thứ nhất
Vậy thừa số thứ nhất là: 296280 : 30 = 9876
Như vậy tích đúng của phép nhân đó là: 9876 x 6789 = 67048164
Bài 6: Xác định dấu của phép tính, sau đó tìm chữ số thích hợp thay cho dấu *
Bài giải:
a) Theo hình thức đặt phép tính thì đây là phép cộng hoặc trừ. Kết quả của phép tính là số có 7 chữ số, lớn hơn cả 2 thành phần của phép tính. Vậy suy ra đây là phép cộng:
Thực hiện phép cộng ta có:
- Hàng đơn vị: * + 4 có tận cùng bằng 2. Vậy * = 8
- Hàng chục: 7 + 6 + 1 có tận cùng bằng *. Vậy * = 4
- Hàng trăm: 4 + * + 1 có tận cùng bằng 5. Vậy * = 0
- Hàng nghìn: 2 + * có tận cùng bằng 7. Vậy * = 5
- Hàng chục nghìn: * + 8 có tận cùng bằng 5. Vậy * = 7
- Hàng trăm nghìn: 9 + * + 1 có tận cùng bằng 3. Vậy * = 3
- Vậy phép tính cần tìm là: 972478 + 385064 = 1357542
b) Suy luận tương tự câu a ta được phép tính: 1570839 – 861475 = 709364
c) Theo hình thức đặt phép tính thì đây phải là phép tính nhân
- Xét tích riêng thứ nhất : 325 x * = 13**
Nếu thừa số * bé hơn 4 thì tích riêng có ba chữ số, nếu thừa số * lớn hơn 4 thì tích riêng có số trăm lớn hơn 13. Vậy chữ số hàng đơn vị của thừa số cần tìm = 4
- Xét tích riêng thứ hai: 325 x * = 2***
Nếu thừa số * bé hơn 7 thì chữ số hàng nghìn của tích là 1 hoặc 0. Vậy chữ số hàng chục của thừa số cần tìm phải lớn hơn 6.
Bằng thử chọn ta tìm được chữ số hàng chục của thừa số cần tìm = 7
Vậy phép tính cần tìm là:
